11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

Дан квадрат $ABCD$ со стороной 20. Луч света выходит из точки $A$ и, отражаясь от сторон $BC, CD, DA$ соответственно, достигает середины стороны $AB$. Какова длина пути, который прошёл луч?

Комментарий/решение

Ответ: √41 •10

Предположим, что пересечение луча со сторонами BC, CD, DA обозначается как X, Y, Z соотвественно.Также будем называть длины отрезков BX, CY, DZ a, b, c. Поскольку длина стороны квадрата равна 20, и у нас есть:

CX=20-a, DY =20-b, AZ=20-c

в треугольниках ABX,XCY,YDZ,ZAM исходя из имеющихся углов будем иметь:

∠BAX = 90 − ∠AXB = 90 − ∠Y XC =∠XYC=∠ZYD=90−∠DZY =90−∠AZM=∠AMZ

В результате треугольники ABX, XCY, Y DZ, ZAM схожи.Теперь,

у нас будет:

△ABX ∼ △Y CX ∼ △Y DZ ∼ △MAZ → AB/BX= YC/CX=YD/DZ= MA/AZ

→ 20/a=b/(20-a)=(20 - b)/c= 10/(20-c)

Согласно алгебраическим соотношениям, для 2n действительных чисел a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn, если:

a1/b1=a2/b2= ... = an/ bn то

Эти дроби также равны (a1+a2+……+an)/(b1+b2+….+bn)

В результате, посчитав дроби и приравняв их к числу 1,25(потому что эти дроби равны 1,25 по алгебраическому соотношению) мы получим: 20/a= 1,25→ a = 16.

b/(20-a)=1,25 → b=5

(20-b)/c=1,25 → c=12

По теореме Пифагора мы можем вычислить длины AX, XY, Y Z, ZM следующим образом:

АХ = √ 656, XY = √ 41, YZ = √ 369, ZM = √ 164

→AX+XY +YZ+ZM = √ 41(4+1+3+2)= √ 41 •10