11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

Қабырғасы 20-ға тең $ABCD$ шаршысының $A$ төбесінен жарық сәуле шығып, сәйкесінше, $BC, CD, DA$ қабырғаларынан шағылып, кейін $AB$ қабырғасының ортасына жетеді. Осы сәуленің жүріп өткен жолының ұзындығы нешеге тең?

Комментарий/решение

Ответ: $$\sqrt{41} \cdot 10$$

Пусть луч пересекает стороны $BC,CD,AD$ в точках $X,Y,Z$. $$BX=a,XC=20-a,CY=b,YD=20-b,CZ=c,AZ=20-a$$ .По легкому подсчету углов заметим что $$\triangle ABX \sim \triangle YCX \sim \triangle YDZ \sim \triangle ZAM \Rightarrow$$

$$\dfrac{20}{a}=\dfrac{b}{20-a}=\dfrac{20-b}{c}=\dfrac{10}{20-c}=\dfrac{20+b+20-b+10}{a+20-a+c+20-c}=\dfrac{5}{4}$$

С помощью легких расчетов можем выявить что $a=16,b=5,c=12$.Откуда по теореме пифагора найдем $AX,XY,YZ,ZM$ и найти их сумму которая равна $\sqrt{41} \cdot 10$