11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

Точки $Y, Z$ лежат на малой дуге $BC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ (здесь точка $Y$ лежит на малой дуге $BZ$). Пусть $X$ такая точка, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle XYZ$ подобны, а $A, X$ лежат по одну сторону от прямой $YZ$. Прямые $XY, XZ$ пересекают стороны $AB, AC$ в точках $E, F$ соответственно. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $BY$ и $CZ$. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников $AEF$ и $KBC$, лежит на прямой $KX$.

Комментарий/решение

Решение. Прежде всего заметим, что A, E, F, X лежат на одной и той же окружности, называемой ω (поскольку ∠EXF = ∠EAF =180◦ − ∠BAC).

Пусть Q — второе пересечение описанной окружности треугольников ∆BKC,∆YKZ.

Докажем что, что Q лежит на ω.

По углам имеем что:

∠BEY = ∠ABY − ∠BY E = ∠ABC + ∠CBY − ∠XYK

= ∠ABC + ∠CBY − ∠XY Z − ∠KY Z = ∠KZY − ∠KCB=

= (180◦ - ∠KCB) - (180◦ - ∠KZY ) = ∠KQB - ∠KQY = ∠BQY

(Обратите внимание, что ∠ABC = ∠XYZ, поскольку ∆АВС ∼∆ХYZ)

поэтому BQEY вписанный, и аналогично CZQF вписанный. итак у нас есть:

∠QEX = ∠QBY = ∠QCZ = ∠QFX

Следовательно, Q лежит на ω.//