Решения: Дистанционные олимпиады, Иранская олимпиада по геометрии

Точки

$Y, Z$ лежат на малой дуге

$BC$ описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ (здесь точка

$Y$ лежит на малой дуге

$BZ$ ). Пусть

$X$ такая точка, что треугольники

$\triangle ABC$ и

$\triangle XYZ$ подобны, а

$A, X$ лежат по одну сторону от прямой

$YZ$ . Прямые

$XY, XZ$ пересекают стороны

$AB, AC$ в точках

$E, F$ соответственно. Пусть

$K$ — точка пересечения прямых

$BY$ и

$CZ$ . Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников

$AEF$ и

$KBC$ , лежит на прямой

$KX$ .

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

4 месяца 4 дней назад #

Решение. Прежде всего заметим, что A, E, F, X лежат на одной и той же окружности, называемой ω (поскольку ∠EXF = ∠EAF =180◦ − ∠BAC).

Пусть Q — второе пересечение описанной окружности треугольников ∆BKC,∆YKZ.

Докажем что, что Q лежит на ω.

По углам имеем что:

∠BEY = ∠ABY − ∠BY E = ∠ABC + ∠CBY − ∠XYK

= ∠ABC + ∠CBY − ∠XY Z − ∠KY Z = ∠KZY − ∠KCB=

= (180◦ - ∠KCB) - (180◦ - ∠KZY ) = ∠KQB - ∠KQY = ∠BQY

(Обратите внимание, что ∠ABC = ∠XYZ, поскольку ∆АВС ∼∆ХYZ)

поэтому BQEY вписанный, и аналогично CZQF вписанный. итак у нас есть:

∠QEX = ∠QBY = ∠QCZ = ∠QFX

Следовательно, Q лежит на ω.//