11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

Точки $Y, Z$ лежат на малой дуге $BC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ (здесь точка $Y$ лежит на малой дуге $BZ$). Пусть $X$ такая точка, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle XYZ$ подобны, а $A, X$ лежат по одну сторону от прямой $YZ$. Прямые $XY, XZ$ пересекают стороны $AB, AC$ в точках $E, F$ соответственно. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $BY$ и $CZ$. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников $AEF$ и $KBC$, лежит на прямой $KX$.

Комментарий/решение

$(BKC)\cup (KYZ)=D\ne Q\Longrightarrow \angle QDX=\angle QEX=\angle QEY=\angle QBY=\angle QBK=\angle QDK\blacksquare$