XIX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2024 год

Есеп №1. Натурал $n$ саны берілген. $p, q > n$ — тақ жай сандар. Кез келген бір түсті $x\ne y$ сандары үшін $(xy - 1)$ саны $p$-ға да, $q$-ға да бөлінбейтіндей етіп, $1$-ден $n$-ге дейінгі барлық натурал сандарды екі түрлі түске бояп шығуға болатынын дәлелдеңіз. ( Зиманов Т. )
комментарий/решение

---

Есеп №2. Теңбүйірлі емес $ABCD$ ($AB \parallel DC$) трапециясы берілген. $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтетін қандай да бір шеңбер $AD$ және $BC$ қабырғаларын, сәйкесінше, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $AF$ және $BE$ кесінділері $G$, ал $ADG$ және $BCG$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $H$ нүктесінде қиылысады. Егер $DG=CG$ болса, онда $H$ нүктесі $ABG$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №3. $n>1$ — бүтін сан болсын. Қонақ үйде $1,2,\dots,n$ сандарымен нөмірленген $n$ номер бар, және әр $i=1,2,\dots,n$ үшін нөмірі $i$-ге тең номерде $i$ бөлме бар. Әр апта сайын қонақ үйге $n$ жанұядан құралған топ жайғасады. Жайғасар алдында әр жанұя алдын ала номерде кемінде неше бөлме болу керектігін айтып қояды. Әр жаңа топтың жайғасуы алдында, оған дейінгі топ шығып кеткен кезде, портье әр жанұя үшін, сол жанұяның талабы орындалатындай етіп, бір номерден берудің жалпы $A$ әдіс санын есептеп, $A$ санын өзінің кітапшасына жазып қояды. Осы кітапшада ең көп дегенде $2^{n-1}$ түрлі натурал сан жазылғанын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение

---

Есеп №4. $\{a_{n}\}_{n \ge 1}$ — қатаң өспелі натурал сандар тізбегі болсын. Кез келген $n$ үшін, $a_{n}$ санын $c_{1} a_{1} + \ldots + c_{n-1} a_{n-1}$ түрінде көрсете алмайтынымыз белгілі, мұнда $c_{i} \in\{0,1\}$. Натурал $m$ саны үшін $f(m)$ арқылы $\{a_{n}\}_{n \ge 1}$ тізбегіндегі $m$-нен үлкен емес мүшелер санын белгілейік. Барлық натурал $m$ және $k$ сандары үшін $$f(m) \leq a_{k} + \frac{m}{k + 1}$$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

---