XIX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2024 год

Пусть $\{a_{n}\}_{n \ge 1}$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что для любого $n$, $a_{n}$ нельзя представить в виде $c_{1} a_{1} + \ldots + c_{n-1} a_{n-1},$ где $c_{i} \in\{0,1\}$. Для натурального числа $m$, через $f(m)$ обозначим количество элементов последовательности $\{a_{n}\}_{n \ge 1}$, не превосходящих $m$. Для всех натуральных $m$ и $k$ докажите, что $$f(m) \leq a_{k} + \frac{m}{k + 1}.$$