XIX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2024 год

$\{a_{n}\}_{n \ge 1}$ — қатаң өспелі натурал сандар тізбегі болсын. Кез келген $n$ үшін, $a_{n}$ санын $c_{1} a_{1} + \ldots + c_{n-1} a_{n-1}$ түрінде көрсете алмайтынымыз белгілі, мұнда $c_{i} \in\{0,1\}$. Натурал $m$ саны үшін $f(m)$ арқылы $\{a_{n}\}_{n \ge 1}$ тізбегіндегі $m$-нен үлкен емес мүшелер санын белгілейік. Барлық натурал $m$ және $k$ сандары үшін $$f(m) \leq a_{k} + \frac{m}{k + 1}$$ екенін дәлелдеңіз.