7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Задача №1. Число 2024 поделили на числа 1, 2,

$\ldots$ , 1000 и получили остатки

${r_{1}},{r_{2}},\ldots ,{r_{1000}}$ соответственно. Чему равно наибольшее число среди

${r_{1}},{r_{2}},\ldots ,{r_{1000}}$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №2. В выпуклом

$n$ -угольнике провели несколько непересекающихся диагоналей (но они могут иметь общие концы). Эти диагонали разделили

$n$ -угольник на три треугольника, четыре четырехугольника и пять пятиугольников. Найдите число

$n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Можно ли расположить числа 1, 2,

$\ldots$ , 25 в некотором порядке:
а) в ряд;
б) по кругу
так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась полным квадратом?
комментарий/решение(2)

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ проведена медиана

$BD$ . Известно, что

$\angle DBC=15^\circ$ ,

$\angle BCD=30^\circ$ . Найдите угол

$ABD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Можно ли покрасить все клетки доски

$99\times 99$ в два цвета так, чтобы для каждой клетки имелись ровно две соседние по стороне клетки, покрашенные в тот же цвет, что и сама клетка? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
комментарий/решение(1)