7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

В выпуклом $n$-угольнике провели несколько непересекающихся диагоналей (но они могут иметь общие концы). Эти диагонали разделили $n$-угольник на три треугольника, четыре четырехугольника и пять пятиугольников. Найдите число $n$.

Комментарий/решение

Давайте каждый четырехугольник поделим на 2 треугольника, а каждый пятиугольник на 3. Получится $5*3+4*2+3*1=26$ треугольников. Зная факт, что любой $n$-углольник можно поделить максимум на $n-2$ треугольника. Следует равенство $n-2=26 => n=28$