қазақша
русский7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур
Задача №1. Число 2024 поделили на числа 1, 2, $\ldots$, 1000 и получили остатки ${r_{1}},{r_{2}},\ldots ,{r_{1000}}$ соответственно. Чему равно наибольшее число среди ${r_{1}},{r_{2}},\ldots ,{r_{1000}}$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В выпуклом $n$-угольнике провели несколько непересекающихся диагоналей (но они могут иметь общие концы). Эти диагонали разделили $n$-угольник на три треугольника, четыре четырехугольника и пять пятиугольников. Найдите число $n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Можно ли расположить числа 1, 2, $\ldots $, 25 в некотором порядке:
а) в ряд;
б) по кругу
так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась полным квадратом?
комментарий/решение(2)
а) в ряд;
б) по кругу
так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась полным квадратом?
комментарий/решение(2)
Задача №4. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Известно, что $\angle DBC=15^\circ$, $\angle BCD=30^\circ$. Найдите угол $ABD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Можно ли покрасить все клетки доски $99\times 99$ в два цвета так, чтобы для каждой клетки имелись ровно две соседние по стороне клетки, покрашенные в тот же цвет, что и сама клетка? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)