7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Можно ли расположить числа 1, 2, $\ldots $, 25 в некотором порядке:
   а) в ряд;
   б) по кругу
так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась полным квадратом?

Комментарий/решение

18 7 9 16 20 5 4 21 15 10 6 19 17 8 1 3 22 14 2 23 13 12 24 25 11

а)Можно. $8,$ $17,$ $19,$ $6,$ $10,$ $15,$ $21,$ $4,$ $12,$ $13,$ $23,$ $2,$ 14,$

$22,$ $3,$ $1,$ $24,$ $25,$ $11,$ $5,$ $20,$ $16,$ $9,$ $7,$ $18.$

б)Нельзя. Рассмотрим число $18$. Квадрат целого числа больше $18$ и меньше чем $18 + 25 = 43$ это $25 = 5^2, 36 = 6^2$. $36 - 18 = 18$ не подходит потому что $18$ уже занят. $25 - 18 = 7$ единственное число что $18 + x = y^2$. Но у нас числу стоит по кругу у $18$ должен быть две соседи. Но два соседа не равны друг другу и нельзя использовать одну и ту числу два раза. Противоречие