7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Есеп №1. (5 ұпай)

$\frac{|S|}{2024}$ -ті есептеңіз, мұнда

$S=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+6^2-7^2-8^2+\ldots+2021^2+2022^2-2023^2-2024^2.$
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABCD$ тіктөртбұрышының ішінде

$K$ , ал сыртында

$L$ нүктелері

$CD=DK=KC$ және

$BC=CL=LB$ болатындай алынған. Мұнда

$A$ ,

$D$ ,

$L$ нүктелерінің барлығы

$BC$ түзуінің бір жағында жатыр. Сонда

$\angle CLD=\angle ADL$ болып шыққан.

$B$ ,

$K$ ,

$D$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$2023\times 2023$ тақтасының ұяшықтарына ешқандай ладья басқа ладьяны ұрмайтындай етіп 2023 ладья қойылған. Кез келген

$1012 \times 1012$ шаршысында кемінде бір ладья бар екенін дәлелдеңіз. (Ладья барлық жаққа горизонталь және вертикаль бағытта ұрады.)
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Тізбекке 101 санды келесі ережені сақтай отыра бірінен кейін бірін жазады: бірінші сан 1-ге тең, ал әр келесі сан (екінші саннан бастап есептегенде) оған дейін тұрған саннан 2-ге кем немесе оған дейін тұрған саннан 3 есе артық. Осы жазылған 101 санның қосындысы \\а) 2024-ке;\\б) 2023-ке\\тең бола алады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Натурал

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін:

$2a \ge b+c+1, \quad 7b \ge 3a+3c+1, \quad 7c \ge 4a+4b+1$ теңсіздіктері орындалады.

$a+b+c$ қосындысының ең кіші мүмкін мәні нешеге тең?
комментарий/решение(1)