қазақша
русский7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур
Есеп №1. (5 ұпай) $\frac{|S|}{2024}$-ті есептеңіз, мұнда $$S=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+6^2-7^2-8^2+\ldots+2021^2+2022^2-2023^2-2024^2.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $ABCD$ тіктөртбұрышының ішінде $K$, ал сыртында $L$ нүктелері $CD=DK=KC$ және $BC=CL=LB$ болатындай алынған. Мұнда $A$, $D$, $L$ нүктелерінің барлығы $BC$ түзуінің бір жағында жатыр. Сонда $\angle CLD=\angle ADL$ болып шыққан. $B$, $K$, $D$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $2023\times 2023$ тақтасының ұяшықтарына ешқандай ладья басқа ладьяны ұрмайтындай етіп 2023 ладья қойылған. Кез келген $1012 \times 1012$ шаршысында кемінде бір ладья бар екенін дәлелдеңіз. (Ладья барлық жаққа горизонталь және вертикаль бағытта ұрады.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Тізбекке 101 санды келесі ережені сақтай отыра бірінен кейін бірін жазады: бірінші сан 1-ге тең, ал әр келесі сан (екінші саннан бастап есептегенде) оған дейін тұрған саннан 2-ге кем немесе оған дейін тұрған саннан 3 есе артық. Осы жазылған 101 санның қосындысы \\а) 2024-ке;\\б) 2023-ке\\тең бола алады ма?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Натурал $a$, $b$, $c$ сандары үшін: $$2a \ge b+c+1, \quad 7b \ge 3a+3c+1, \quad 7c \ge 4a+4b+1$$ теңсіздіктері орындалады. $a+b+c$ қосындысының ең кіші мүмкін мәні нешеге тең?
комментарий/решение
комментарий/решение