7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

В клетки таблицы $2023\times 2023$ поставили 2023 ладьей так, что ни одна не бьет другую. Докажите, что в любом квадрате $1012 \times 1012$ находится хотя бы одна ладья. (Ладья бьёт по горизонталям и вертикалям во все стороны.)

Комментарий/решение

Есеп шарты бойынша әр $1 \times 1$ шаршыда бір ладья бар екенің білуге болады. Ішінде бірде-бір ладья жоқ $1012 \times 1012$ шаршы табылсын. Бұл шаршыны $Sigmaboy$ деп алайық. $Sigmaboy$ шаршысынын қабырғаларын үлкен шаршының қабырғаларына қиылысатындай қылып созайық. Егер созғанда $4$ тікітөртбұрыш шықты делік. $Sigmaboy$ шаршысымен көршілес екі $1012 \times 1011$ тіктөртбұрыштвр бар. $Sigmaboy$ шаршысымен бір төртбұрыште бірге $1012$ ладья бар. Демек әр төртбұрышта $1012$ ладья бар. Бұл мүмкін емес өйткен тақтада ең көп $2023$ ладья бола алады. Егер қабырғаларын созған кезде $6$ төртбұрыш шықса $Sigmaboy$ шаршысына көршілес $3$ төртбұрыш бар. $Sigmaboy$ шаршысын оң жақ сол жақ көршілерінде (немесе үсті асты көршілерінде) 1012 ладья бар. Себебі $Sigmaboy$ шаршысында ладья жоқ. Және $Sigmaboy$ шаршысымен көршілес үшінші төртбұрыш бар. Ол төртбұрыштада 1012 ладья болу керек себебі $Sigmaboy$ шаршысында ладья жоқ. Бұл мүмкін емес өйткені тақтада ең көп 2023 ладья бола алады. Егер созғанда $9$ төртбұрыш шықты делік. Онда $Sigmaboy$ шаршысынын $4$ көршісі бар. Оң және сол жақ көрші төртбұрыштарында 1012 ладья болу керек себебі $Sigmaboy$ шаршысында ладья жоқ. Және үсті асты көршілеріндеде 1012 ладья болу керек өйткені $Sigmaboy$ шаршысында ладья жоқ. Бұл мүмкін емес өйткені тақтада ең көп дегенде 2023 ладья бар. Демек әр $1012 \times 1012$ кем дегенде бір ладья бар

Оңайырақ шешімі

$Sigmaboy$ шаршысынын үстіңгі көршісіндегі ладьялар саны $sigma$ болсын. Демек $Sigmaboy$ шаршысынын астыңғы көршісінде $1012 - sigma$ ладья бар. Дәл солай оң жақ сол жақ көршілерінде $boy$ және $1012 - boy$ ладья болады деп алайық. Өйткені $Sigmaboy$ шаршысында ладья жоқ. Демек ладьялар саны кем дегенде $(1012 - sigma) + (sigma) + (boy) + (1012 - boy) = 2024$ ладья бар бұл мүмкін емес өйткені тақтада ең көп дегенде $2023$ ладья бола алады