қазақша
русский7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур
Задача №1. Вычислите $\frac{|S|}{2024}$, если $$S=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+6^2-7^2-8^2+\ldots+2021^2+2022^2-2023^2-2024^2.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Внутри прямоугольника $ABCD$ нашлась точка $K$, а вне — точка $L$ такие, что $CD=DK=KC$ и $BC=CL=LB$. Здесь все точки $A$, $D$, $L$ лежат по одну сторону от прямой $BC$. Оказалось, что $\angle CLD=\angle ADL$. Докажите, что точки $B$, $K$, $D$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. В клетки таблицы $2023\times 2023$ поставили 2023 ладьей так, что ни одна не бьет другую. Докажите, что в любом квадрате $1012 \times 1012$ находится хотя бы одна ладья. (Ладья бьёт по горизонталям и вертикалям во все стороны.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. В строку последовательно выписывают 101 чисел по следующему правилу: первое число равно 1, а каждое следующее, начиная со второго, или на 2 меньше предыдущего числа, или в 3 раза больше предыдущего числа. Могло ли оказаться так, что сумма всех 101 чисел равна \\ а) 2024;\\б) 2023?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Натуральные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяю неравенствам: $$2a \ge b+c+1, \quad 7b \ge 3a+3c+1, \quad 7c \ge 4a+4b+1.$$ Найдите наименьшее возможное значение суммы $a+b+c$.
комментарий/решение
комментарий/решение