7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Задача №1. Вычислите

$\frac{|S|}{2024}$ , если

$S=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+6^2-7^2-8^2+\ldots+2021^2+2022^2-2023^2-2024^2.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Внутри прямоугольника

$ABCD$ нашлась точка

$K$ , а вне — точка

$L$ такие, что

$CD=DK=KC$ и

$BC=CL=LB$ . Здесь все точки

$A$ ,

$D$ ,

$L$ лежат по одну сторону от прямой

$BC$ . Оказалось, что

$\angle CLD=\angle ADL$ . Докажите, что точки

$B$ ,

$K$ ,

$D$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В клетки таблицы

$2023\times 2023$ поставили 2023 ладьей так, что ни одна не бьет другую. Докажите, что в любом квадрате

$1012 \times 1012$ находится хотя бы одна ладья. (Ладья бьёт по горизонталям и вертикалям во все стороны.)
комментарий/решение(3)

Задача №4. В строку последовательно выписывают 101 чисел по следующему правилу: первое число равно 1, а каждое следующее, начиная со второго, или на 2 меньше предыдущего числа, или в 3 раза больше предыдущего числа. Могло ли оказаться так, что сумма всех 101 чисел равна
а) 2024;
б) 2023?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Натуральные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ удовлетворяют неравенствам:

$2a \ge b+c+1, \quad 7b \ge 3a+3c+1, \quad 7c \ge 4a+4b+1.$ Найдите наименьшее возможное значение суммы

$a+b+c$ .
комментарий/решение(1)