Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур


Задача №1. Из уравнения 74n1×493n=79 найдите число n.
комментарий/решение
Задача №2. В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка D такая, что AD=DC=AB и BAD=28. Скольким градусам равен угол BAC?
комментарий/решение
Задача №3. Сколькими способами с клетчатой доски 8×8 можно выбрать две клетки, имеющие общую сторону?
комментарий/решение
Задача №4. Из уравнения 110!+111!=x12! найдите число x. (Как обычно, n! означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, то есть n!=12n.)
комментарий/решение
Задача №5. Асан загадал целое число больше 200, но меньше 220. Если он умножит загаданное число на 3, прибавит к произведению 36, разделит сумму на 3 и вычтет 12 из частного, то полученный результат будет простым числом. Какое число загадал Асан?
комментарий/решение
Задача №6. Из одной школы на олимпиаду пришли учащихся 6 и 7 классов. Общее количество участников не превышало 50. Учитель сначала полностью заполнил 1-ю аудиторию, посадив за каждую парту по одному шестикласснику и одному семикласснику, остальных отправил в другую аудиторию. Оказалось, что в 1-ю аудиторию вошли 3/4 всех шестиклассников и 4/5 всех семиклассников. Сколько учеников вошли в первую аудиторию?
комментарий/решение
Задача №7. Для различных чисел x и y выполнено равенство: 11x22024x=11y22024y. Найдите сумму x+y.
комментарий/решение
Задача №8. Асану дали 50 задач трёх сложностей — легкие, средние и сложные. Легких задач в 11 раз больше, чем средних. Число сложных задач меньше легких, но больше средних. Сколько сложных задач дали Асану?
комментарий/решение
Задача №9. Найдите сумму всех корней уравнения: ||2x4|6|=2024.
комментарий/решение
Задача №10. Для простых чисел p и q выполнено равенство 17p+3q=2017. Найдите сумму p+q.
комментарий/решение
Задача №11. Числа 1, 2, , 9 вписали в 9 клеток по одному разу, и выполнили действия, указанные в каждой строчке и каждом столбце. Результаты действий записали в кружках (см. рис.). Какое число написано в клетке, отмеченной звездочкой?


комментарий/решение
Задача №12. Жирность домашней сметаны равна 45%, а магазинного — 12%. Бабушка смешала несколько граммов домашней сметаны с несколькими граммами магазинной и получила 1650 граммов сметаны 32% жирности. Сколько граммов магазинной сметаны было до смешивания?
комментарий/решение
Задача №13. На рисунке четыре квадрата образуют четыре части. Площади трех из них указаны в соответствующих частях (из них две площади — это площади двух крайних квадратов). Найдите площадь квадрата, закрашенного серым цветом.


комментарий/решение
Задача №14. На рисунке две вершины меньшего правильного треугольника лежат на двух сторонах большего правильного треугольника, причем полученные углы на рисунке отличаются в 4 раза. Скольким градусам равен угол α?


комментарий/решение
Задача №15. Сколько существует различных треугольников с натуральными сторонами и с периметром 20?
комментарий/решение
Задача №16. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что произведение 5880n равно кубу натурального числа.
комментарий/решение
Задача №17. Найдите количество натуральных чисел, меньших чем 2449, и взаимно простых с ним. (Два целых числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.)
комментарий/решение(1)
Задача №18. Найдите сумму цифр числа 99992 (девятка встречается 23 раза).
комментарий/решение
Задача №19. «Чевианой» треугольника назовем отрезок, соединяющий вершину с точкой, лежащей на противоположной стороне. Треугольник, периметр которого равен 19 см, разбит тремя чевианами на 4 треугольника и 3 четырехугольника (см. рис.). Сумма периметров трех четырехугольников равна 25 см, а сумма периметров четырех треугольников равна 20 см. Скольким сантиметрам равна сумма длин трёх чевиан этого треугольника.


комментарий/решение
Задача №20. На стене висят стрелочные часы. Хулиган Петя вырвал секундную стрелку, оставив только минутную и часовую. Какое время (в секундах) показывала бы секундная стрелка в момент, когда минутная и часовая стрелки соответственно образовывали углы α и 2α с горизонтальной линией (см. рис.). (Ответ дайте в виде целого числа от 0 до 59.)


комментарий/решение