қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур регионального этапа
Есеп №1. Бастапқыда бір кесек ірімшік бар. Ірімшіктің кез келген бір бөлігін алып, оған үш операцияның бірін орындауға рұқсат: оны салмақтары өзара тең 2 бөлікке, салмақтары өзара тең 11 бөлікке немесе салмақтары өзара тең 23 бөлікке кесуге болады. Тек осы операцияларды қолданып, бастапқы кесекті салмақтары өзара тең 2024 бөлікке бөлуге болады ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Олегте өлшемдері ${1\times 1}$, ${1\times 2}$, $\ldots$, ${1\times 2024}$ болатын ұяшықты тіктөртбұрыштар жинағы бар (әр өлшемді тіктөртбұрыш бір-бірден ғана берілген). Олег олардың бірнешеуін алып, олардан ауданы 1-ден үлкен шаршы құрастыра алады ма? Құрастыру кезінде қабаттасу немесе бос орын болмау керек.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышының $AB$, $BC$, $CA$ қабырғаларынан, сәйкесінше, $K$, $L$, $M$ нүктелері $AK = 1$, $BL =2$, $CM = 3$ болатындай етіп алынған. $\angle MKL = 60^\circ$ екені белгілі. $ABC$ үшбұрышының қабырғасын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Бастапқыда шеңбер бойында боялмаған 100 ақ нүкте бар. Аня мен Боря кезекпен осы нүктелерді бояй бастайды. Әр бала өз жүрісінде әлі боялмаған бір нүктені таңдап алып, оны кызыл немесе көк түске бояйды. Жүрісті Аня бастайды. Аня түрлі-түсті көрші нүктелер жұбы барынша көп болғанын, ал Боря керісінше, осындай жұптар барынша аз болғанын қалайды. Боряның жүрісіне қарамастан Аня өзіне ең көп дегенде кепілді түрде неше түрлі-түсті нүктелер жұбын ала алады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Қандай натурал сандарды $a^2+2023b^2-2024c^2$ түріне келтіруге болады? Мұнда $a$, $b$, $c$ — әртүрлі бүтін сандар.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)