Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур регионального этапа

На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $K$, $L$, $M$ соответственно так, что $AK = 1$, $BL = 2$, $CM = 3$. Известно, что $\angle MKL = 60^\circ$. Найдите сторону треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Пусть $AM=x => CL=x+1, BK=x+2$. Пусть $\angle BKL = α$ тогда $\angle B =\angle A = 60, \angle BLK=\angle AKM = 120 - α$ откуда $\triangle AKM ~ \triangle BKL$ по двум углам, откуда

$\frac {2}{1}=\frac {x+2}{x}$. Решаем линейное уравнение и получаем $x=2 => AB=BC=AC=2+3=5$.

Ответ: 5