Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур регионального этапа

Задача №1. Первоначально имеется один кусок сыра. Разрешается взять любой кусок сыра и проделать с ним одну из трех операций: разделить его на два куска одинакового веса, 11 кусков одинакового веса или 23 куска одинакового веса. Можно ли, используя только эти операции, разделить его на 2024 части одинакового веса?
комментарий/решение(1)

Задача №2. У Олега есть набор из клетчатых прямоугольников размеров

${1\times 1}$ ,

${1\times 2}$ ,

$\ldots$ ,

${1\times 2024}$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить (без наложений и пробелов) какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
комментарий/решение(1)

Задача №3. На сторонах

$AB$ ,

$BC$ ,

$CA$ равностороннего треугольника

$ABC$ выбраны точки

$K$ ,

$L$ ,

$M$ соответственно так, что

$AK = 1$ ,

$BL = 2$ ,

$CM = 3$ . Известно, что

$\angle MKL = 60^\circ$ . Найдите сторону треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Какие натуральные числа можно представить в виде

$a^2+2023b^2-2024c^2$ , где

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — различные целые числа?
комментарий/решение(2)