қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. Первоначально имеется один кусок сыра. Разрешается взять любой кусок сыра и проделать с ним одну из трех операций: разделить его на два куска одинакового веса, 11 кусков одинакового веса или 23 куска одинакового веса. Можно ли, используя только эти операции, разделить его на 2024 части одинакового веса?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. У Олега есть набор из клетчатых прямоугольников размеров ${1\times 1}$, ${1\times 2}$, $\ldots$, ${1\times 2024}$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить (без наложений и пробелов) какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $K$, $L$, $M$ соответственно так, что $AK = 1$, $BL = 2$, $CM = 3$. Известно, что $\angle MKL = 60^\circ$. Найдите сторону треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Какие натуральные числа можно представить в виде $a^2+2023b^2-2024c^2$, где $a$, $b$, $c$ — различные целые числа?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)