Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур регионального этапа

Какие натуральные числа можно представить в виде $a^2+2023b^2-2024c^2$, где $a$, $b$, $c$ — различные целые числа?

Комментарий/решение

Чтобы число было натуральным нужно чтобы :

$$2024c^2 < a^2 + 2023b^2$$ $$\Rightarrow$$

$$c^2 < a^2 , b^2$$

Используя что $n^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$, перебрав пару случаев не сложно убедиться что $a^2+2023b^2-2024c^2 \equiv 2 \pmod{4}$ невозможно.Теперь приведем пример что в таком виде можно представить любое натуральное число не дающее остаток 2 по модулю 4.

Подставляя пары:

$(a,b,c)=(k+2,k,-k);(k+1,k,-k),(90,0,2);(45,0,1)$, можно получить числа:

$4(k+1),2k+1,4,1$ подставляя любое натуральное $k$, можно получить числа которые нам нужны.