Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур регионального этапа
Қандай натурал сандарды a2+2023b2−2024c2 түріне келтіруге болады? Мұнда a, b, c — әртүрлі бүтін сандар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Используя что n^2 \equiv 0,1 \pmod{4}, перебрав пару случаев не сложно убедиться что a^2+2023b^2-2024c^2 \equiv 2 \pmod{4} невозможно.Теперь приведем пример что в таком виде можно представить любое натуральное число не дающее остаток 2 по модулю 4.
Подставляя пары:
(a,b,c)=(k+2,k,-k);(k+1,k,-k),(90,0,2);(45,0,1), можно получить числа:
4(k+1),2k+1,4,1 подставляя любое натуральное k, можно получить числа которые нам нужны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.