Processing math: 58%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур регионального этапа


Қандай натурал сандарды a2+2023b22024c2 түріне келтіруге болады? Мұнда a, b, c — әртүрлі бүтін сандар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
8 месяца 2 дней назад #

Чтобы число было натуральным нужно чтобы :

2024c2<a2+2023b2

c2<a2,b2

  0
8 месяца 2 дней назад #

Используя что n^2 \equiv 0,1 \pmod{4}, перебрав пару случаев не сложно убедиться что a^2+2023b^2-2024c^2 \equiv 2 \pmod{4} невозможно.Теперь приведем пример что в таком виде можно представить любое натуральное число не дающее остаток 2 по модулю 4.

Подставляя пары:

(a,b,c)=(k+2,k,-k);(k+1,k,-k),(90,0,2);(45,0,1), можно получить числа:

4(k+1),2k+1,4,1 подставляя любое натуральное k, можно получить числа которые нам нужны.