Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур регионального этапа

Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышының $AB$, $BC$, $CA$ қабырғаларынан, сәйкесінше, $K$, $L$, $M$ нүктелері $AK = 1$, $BL =2$, $CM = 3$ болатындай етіп алынған. $\angle MKL = 60^\circ$ екені белгілі. $ABC$ үшбұрышының қабырғасын табыңыз.

Комментарий/решение

Пусть $AM=x => CL=x+1, BK=x+2$. Пусть $\angle BKL = α$ тогда $\angle B =\angle A = 60, \angle BLK=\angle AKM = 120 - α$ откуда $\triangle AKM ~ \triangle BKL$ по двум углам, откуда

$\frac {2}{1}=\frac {x+2}{x}$. Решаем линейное уравнение и получаем $x=2 => AB=BC=AC=2+3=5$.

Ответ: 5