Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2024 год

Задача №1. В баскетбольном турнире РФМШ участвуют 12 команд. За один учебный год каждая команда играет с каждой другой командой из РФМШ дважды, а также каждая команда также играет 4 игры против команд из других школ. Каково общее количество игр в учебном году с участием команд из РФМШ?
комментарий/решение

Задача №2. Сколько существует правильных несократимых дробей вида $\frac{a}{b}$ таких, что $a$ и $b$ — натуральные числа и $a+b=33$? Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
комментарий/решение

Задача №3. Три ученика, Рэй, Руни и Агат, пришли на олимпиаду в РФМШ. Рэй прошел через турникет в 07:30, Руни — в 07:33, Агат — в 07:36. Каждый из учеников, пройдя турникет, направляется в актовый зал. В актовый зал сначала зашел Рэй, через 3 минуты — Агат, а ещё через 3 минуты — Руни. Найдите скорость передвижения Рэя, если скорость Агата равна 6 км/ч, а скорость Руни — 3 км/ч.
комментарий/решение

Задача №4. Бахыт и Куаныш по очереди красят полоску из 2025 клеток. За каждый ход разрешается закрасить один из еще не закрашенных клеток в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. После того, как все клетки будут закрашены, победа присуждается Бахыту, если в ряду найдутся три подряд идущих клеток трёх разных цветов; иначе победа присуждается Куанышу. Кто должен выиграть при правильной игре, если игру начинает Бахыт? (Вначале игры все клетки не закрашены.)
комментарий/решение

Задача №5. Даны 23 последовательных нечетных числа. Наибольшее из них в 5 раз больше наименьшего. Найдите сумму всех этих 23 чисел.
комментарий/решение

Задача №6. Сколько существуют трехзначных чисел, произведение цифр которых равно 24?
комментарий/решение

Задача №7. У натуральных чисел $n$ и ${n+1}$ взяли по одному делителю. Сумма этих делителей оказалась равна 2024. Докажите, что $n \ge 1349$.
комментарий/решение

Задача №8. Лунтик находится на Луне и он может отправится в путешествие в сторону Земли. По орбите Земли он может летать только по часовой стрелке. После того как сделает круг, он может полететь в сторону Луны, либо может полететь в сторону Луны не сделав ни одного круга, либо может продолжать лететь по орбите Земли. Путь от Луны до Земли и от Земли до Луны Лунтик преодолевает всегда за 1 день. Один оборот вокруг Земли тоже длится 1 день. Лунтик никогда не останавливается, на пути от Луны до Земли или от Земли до Луны он не разворачивается. Известно, что через 9 дней Лунтик вернулся на Луну. Найдите количество всевозможных различных маршрутов, которые мог совершить Лунтик за это время (последовательностей прохождения участков).
комментарий/решение