Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2023 год

Задача №1. Пусть

$n \ge 5$ — натуральное число. Рассмотрим

$n$ квадратов с длинами сторон 1, 2,

$\ldots$ ,

$n$ , соответственно. Квадраты располагаются на плоскости со сторонами, параллельными осям координат

$x$ и

$y$ , так, чтобы никакие два квадрата не имели общих точек, за исключением, возможно, вершин. Докажите, что можно расположить эти квадраты таким образом, чтобы каждый квадрат имел общую точку ровно с двумя другими квадратами.
комментарий/решение

Задача №2. Найдите все натуральные числа

$n \ge 2$ такие, что

$\frac{\sigma(n)}{p(n)-1} = n$ . Здесь через

$\sigma(n)$ обозначена сумма всех натуральных делителей числа

$n$ , а через

$p(n)$ — наибольший простой делитель числа

$n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. В параллелограмме

$ABCD$ на сторонах

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ и

$DA$ , соответственно, выбраны точки

$W$ ,

$X$ ,

$Y$ и

$Z$ так, что центры вписанных окружностей треугольников

$AWZ$ ,

$BXW$ ,

$CYX$ и

$DZY$ являются вершинами параллелограмма. Докажите, что четырехугольник

$WXYZ$ также является параллелограммом.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Дано действительное число

$c > 0$ и пусть

$\mathbb{R}_{>0}$ — множество всех действительных положительных чисел. Найдите все функции

$f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ такие, что

$f((c + 1)x + f(y)) = f(x + 2y) + 2cx$ для всех

$x, y \in \mathbb{R}_{>0}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. На плоскости расположены

$n$ отрезков. Любая пара отрезков имеет ровно одну общую точку, отличную от концов этих отрезков, но никакие три отрезка не пересекаются в одной точке. Тони и каждый из его

$2n-1$ друзей стоят на разных концах данных отрезков. Тони хочет отправить новогодние подарки каждому своему другу следующим образом: Сначала он выбирает на каждом отрезке один из концов и называет его «стоком». Затем он помещает подарок в конец отрезка где он стоит сам. Подарок перемещается следующим образом:
   Если он находится на отрезке, он движется в сторону стока.
   Когда он достигает пересечения двух отрезков, он переключается на новый отрезок и начинает двигаться в сторону нового стока.
   Если подарок достигает конца отрезка, то друг, находящийся в этом конце, получает свой подарок. Докажите, что Тони может отправить подарок ровно

$n$ (из

$2n-1$ ) своим друзьям.
комментарий/решение

результаты