Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2023 год

Задача №1. Пусть $n \ge 5$ — натуральное число. Рассмотрим $n$ квадратов с длинами сторон 1, 2, $\ldots$, $n$, соответственно. Квадраты располагаются на плоскости со сторонами, параллельными осям координат $x$ и $y$, так, чтобы никакие два квадрата не имели общих точек, за исключением, возможно, вершин. Докажите, что можно расположить эти квадраты таким образом, чтобы каждый квадрат имел общую точку ровно с двумя другими квадратами.
комментарий/решение

Задача №2. Найдите все натуральные числа $n \ge 2$ такие, что $\frac{\sigma(n)}{p(n)-1} = n$. Здесь через $\sigma(n)$ обозначена сумма всех натуральных делителей числа $n$, а через $p(n)$ — наибольший простой делитель числа $n$.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В параллелограмме $ABCD$ на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$, соответственно, выбраны точки $W$, $X$, $Y$ и $Z$ так, что центры вписанных окружностей треугольников $AWZ$, $BXW$, $CYX$ и $DZY$ являются вершинами параллелограмма. Докажите, что четырехугольник $WXYZ$ также является параллелограммом.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Дано действительное число $c > 0$ и пусть $\mathbb{R}_{>0}$ — множество всех действительных положительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ такие, что $$f((c + 1)x + f(y)) = f(x + 2y) + 2cx$$ для всех $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. На плоскости расположены $n$ отрезков. Любая пара отрезков имеет ровно одну общую точку, отличную от концов этих отрезков, но никакие три отрезка не пересекаются в одной точке. Тони и каждый из его $2n-1$ друзей стоят на разных концах данных отрезков. Тони хочет отправить новогодние подарки каждому своему другу следующим образом: Сначала он выбирает на каждом отрезке один из концов и называет его «стоком». Затем он помещает подарок в конец отрезка где он стоит сам. Подарок перемещается следующим образом:
   Если он находится на отрезке, он движется в сторону стока.
   Когда он достигает пересечения двух отрезков, он переключается на новый отрезок и начинает двигаться в сторону нового стока.
   Если подарок достигает конца отрезка, то друг, находящийся в этом конце, получает свой подарок. Докажите, что Тони может отправить подарок ровно $n$ (из $2n-1$) своим друзьям.
комментарий/решение

результаты