Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2023 год

Пусть $n \ge 5$ — натуральное число. Рассмотрим $n$ квадратов с длинами сторон 1, 2, $\ldots$, $n$, соответственно. Квадраты располагаются на плоскости со сторонами, параллельными осям координат $x$ и $y$, так, чтобы никакие два квадрата не имели общих точек, за исключением, возможно, вершин. Докажите, что можно расположить эти квадраты таким образом, чтобы каждый квадрат имел общую точку ровно с двумя другими квадратами.