Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2023 год

На плоскости расположены $n$ отрезков. Любая пара отрезков имеет ровно одну общую точку, отличную от концов этих отрезков, но никакие три отрезка не пересекаются в одной точке. Тони и каждый из его $2n-1$ друзей стоят на разных концах данных отрезков. Тони хочет отправить новогодние подарки каждому своему другу следующим образом: Сначала он выбирает на каждом отрезке один из концов и называет его «стоком». Затем он помещает подарок в конец отрезка где он стоит сам. Подарок перемещается следующим образом:
   Если он находится на отрезке, он движется в сторону стока.
   Когда он достигает пересечения двух отрезков, он переключается на новый отрезок и начинает двигаться в сторону нового стока.
   Если подарок достигает конца отрезка, то друг, находящийся в этом конце, получает свой подарок. Докажите, что Тони может отправить подарок ровно $n$ (из $2n-1$) своим друзьям.