Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2023-жыл

Жазықтықта $n$ кесінді бар. Кез келген екі кесінді жұбының, кесінді ұштарынан өзгеше, дәл бір ортақ нүктесі бар, бірақ ешқандай үш кесінді бір нүктеде қиылыспайды. Тони және оның $2n-1$ достарының әрқайсысы осы кесінділерінің әртүрлі ұштарында тұр. Тони әр досына сыйлықты келесідей жібергісі келеді: Алдымен ол әр кесіндінің бір ұшын таңдап, оны «ағын» деп атайды. Содан кейін ол сыйлықты өзі тұрған кесіндінің ұшына қояды. Сыйлық келесідей қозғалады:
   Егер сыйлық кесіндіде болса, ол ағынға қарай жылжиды.
   Сыйлық екі кесіндінің қиылысына жеткенде, ол жаңа кесіндіге ауысып, жаңа ағынға қарай жылжи бастайды.
   Егер сыйлық кесіндінің ұшына жетсе, сол ұшта тұрған дос өз сыйлығын алады. Тони $2n-1$ досының дәл $n$-іне сыйлық жібере алатынын дәлелдеңіз.