Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2023-жыл

Есеп №1. $n \ge 5$ — натурал сан болсын. Қабырғалары, сәйкесінше, 1, 2, $\ldots$, $n$ болатын $n$ шаршыларды қарастырайық. Шаршылар жазықтықта қабырғалары $x$ және $y$ осьтеріне параллель болатындай орналасқан. Ешқандай екі шаршының, мүмкін ортақ төбеден басқа, ортақ нүктесі жоқ екені белгілі. Бұл шаршыларды әрбір шаршының дәл екі басқа шаршымен ортақ нүктесі болатындай етіп орналастыруға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №2. $\frac{\sigma(n)}{p(n)-1} = n$ теңдігі орындалатындай барлық натурал $n\ge 2$ сандарын табыңыз. Бұл жерде $\sigma(n)$ арқылы $n$ санының барлық натурал бөлгіштерінің қосындысы, ал $p(n)$ арқылы оның ең үлкен жай бөлгіші белгіленген.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $ABCD$ параллеллограммының $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ қабырғаларынан, сәйкесінше, $W$, $X$, $Y$, $Z$ нүктелері $AWZ$, $BXW$, $CYX$, $DZY$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлер центрлері параллелограмм төбелері болатындай алынған. $WXYZ$ төртбұрышы да параллелограмм екенін дәлеледеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Нақты $c>0$ саны берілген. $\mathbb{R}_{>0}$ арқылы нақты оң сандар жиынын белгілейік. Кез келген $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$ үшін $$f((c+1) x+f(y))=f(x+2 y)+2 c x$$ теңдігі орындалатындай барлық $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Жазықтықта $n$ кесінді бар. Кез келген екі кесінді жұбының, кесінді ұштарынан өзгеше, дәл бір ортақ нүктесі бар, бірақ ешқандай үш кесінді бір нүктеде қиылыспайды. Тони және оның $2n-1$ достарының әрқайсысы осы кесінділерінің әртүрлі ұштарында тұр. Тони әр досына сыйлықты келесідей жібергісі келеді: Алдымен ол әр кесіндінің бір ұшын таңдап, оны «ағын» деп атайды. Содан кейін ол сыйлықты өзі тұрған кесіндінің ұшына қояды. Сыйлық келесідей қозғалады:
   Егер сыйлық кесіндіде болса, ол ағынға қарай жылжиды.
   Сыйлық екі кесіндінің қиылысына жеткенде, ол жаңа кесіндіге ауысып, жаңа ағынға қарай жылжи бастайды.
   Егер сыйлық кесіндінің ұшына жетсе, сол ұшта тұрған дос өз сыйлығын алады. Тони $2n-1$ досының дәл $n$-іне сыйлық жібере алатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

результаты