10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, первая лига, 7-8 классы

Есеп №1. Төменгі суреттегі барлық көпбұрыштар — дұрыс көпбұрыштар. $ABCD$ — теңбүйірлі трапеция екенін дәлелдеңіз.

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $AB=AC$ және $\angle A=30^\circ$, ал $L$ және $M$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $AC$ қабырғаларынан $AL=CM$ болатындай алынған. $AB$ кесіндісінде $K$ нүктесі $\angle AMK= 45^\circ$ болатындай алынған. Егер $\angle LMC=75^\circ$ болса, $KM+ML=BC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. $ABCD$ — қабырғасы 1-ге тең квадрат. Квадраттың ішінде (қабырғаларында емес) жататын неше $P$ нүкте үшін осы квадратты аудандары өзара тең 10 үшбұрыштарға, әрі әр үшбұрыштың ортақ төбесі $P$ нүктесі болатындай, үшбұрыштарға бөлуге болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагоналдары $E$ нүктесінде қиылысады. Егер $CD = BC = BE$ болса, $AD + DC \geq AB$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Көпбұрыш өзара қиылыспайтын ішкі диагональдармен үшбұрыштарға бөлінген. Ортақ қабырғасы бар кез келген екі үшбұрыштың сол қабырғаға қарсы жатқан екі бұрыштардың қосындысы $180^\circ$-тан үлкен екені белгілі.
a) Осы көпбұрыштың дөңес екенін дәлелдеңіз.
b) Бастапқы көпбұрыш бөлінуде пайда болған әрбір үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің ішінде жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение