10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, первая лига, 7-8 классы

Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $1$. Сколько точек $P$ внутри квадрата (не на его сторонах) имеют свойство, что квадрат можно разрезать на 10 треугольников равных площадей, и все они имеют общую вершину в точке $P$?

Комментарий/решение

Можно сказать, что вершина $P$ соединена с вершинами квадрата (если это не так, то тогда нельзя будет разрезать вышедшие четырёхугольники на треугольники)

Тогда треугольники $APB, BPC, CPD, DPA$ можно разрезать на целое число треугольников площадью 0,1. Пусть количество на которое можно разрезать треугольник $i$ будет $a_i$, т. е. $S(i)=0,1*a_i$

Проведём из точки $P$ прямую $KL \parallel AB$, так что $K \in BC, L \in AD$

$KL \parallel AB; BK \parallel AL \Rightarrow BKLA - $ параллелограмм $\Rightarrow KL=AB=1$

$S(BPC)+S(APD)=\frac{PK*BC}{2}+\frac{PL*AD}{2}=\frac{PK}{2}+\frac{PL}{2}=\frac{PK+PL}{2}=\frac{KL}{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow a_{BPC}+a_{APD}=5 \Rightarrow a_{BPC}+a_{DPA}=a_{APB}+a_{CPD}=5; S(BPC)+S(DPA)=S(APB)+S(CPD)=0,5$

Теперь будем определять точку $P$ так, проведём прямую $\parallel BC$ на расстояние $0,1*a_{BPC}$, и прямую $\parallel AB$ на расстояние $0,1*a_{APB}$ точкой их пересечения и будет $P$, и т.к. $a_{DPA}$ зависит непосредственно от $a_{BPC}, a_{CPD}$ зависит от $a_{APB} \Rightarrow$ количество таких точек $P$ равно количеству пар $(a_{BPC}, a_{APB})$, каждое может принимать по 4 значения $\Rightarrow$ Ответ: 4*4=16.