10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, первая лига, 7-8 классы
Комментарий/решение:
Можно сказать, что вершина P соединена с вершинами квадрата (если это не так, то тогда нельзя будет разрезать вышедшие четырёхугольники на треугольники)
Тогда треугольники APB,BPC,CPD,DPA можно разрезать на целое число треугольников площадью 0,1. Пусть количество на которое можно разрезать треугольник i будет ai, т. е. S(i)=0,1∗ai
Проведём из точки P прямую KL∥AB, так что K∈BC,L∈AD
KL∥AB;BK∥AL⇒BKLA− параллелограмм ⇒KL=AB=1
S(BPC)+S(APD)=PK∗BC2+PL∗AD2=PK2+PL2=PK+PL2=KL2=12⇒aBPC+aAPD=5⇒aBPC+aDPA=aAPB+aCPD=5;S(BPC)+S(DPA)=S(APB)+S(CPD)=0,5
Теперь будем определять точку P так, проведём прямую ∥BC на расстояние 0,1∗aBPC, и прямую ∥AB на расстояние 0,1∗aAPB точкой их пересечения и будет P, и т.к. aDPA зависит непосредственно от aBPC,aCPD зависит от aAPB⇒ количество таких точек P равно количеству пар (aBPC,aAPB), каждое может принимать по 4 значения ⇒ Ответ: 4*4=16.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.