Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, первая лига, 7-8 классы


ABCD — қабырғасы 1-ге тең квадрат. Квадраттың ішінде (қабырғаларында емес) жататын неше P нүкте үшін осы квадратты аудандары өзара тең 10 үшбұрыштарға, әрі әр үшбұрыштың ортақ төбесі P нүктесі болатындай, үшбұрыштарға бөлуге болады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
1 года 1 месяца назад #

Можно сказать, что вершина P соединена с вершинами квадрата (если это не так, то тогда нельзя будет разрезать вышедшие четырёхугольники на треугольники)

Тогда треугольники APB,BPC,CPD,DPA можно разрезать на целое число треугольников площадью 0,1. Пусть количество на которое можно разрезать треугольник i будет ai, т. е. S(i)=0,1ai

Проведём из точки P прямую KLAB, так что KBC,LAD

KLAB;BKALBKLA параллелограмм KL=AB=1

S(BPC)+S(APD)=PKBC2+PLAD2=PK2+PL2=PK+PL2=KL2=12aBPC+aAPD=5aBPC+aDPA=aAPB+aCPD=5;S(BPC)+S(DPA)=S(APB)+S(CPD)=0,5

Теперь будем определять точку P так, проведём прямую BC на расстояние 0,1aBPC, и прямую AB на расстояние 0,1aAPB точкой их пересечения и будет P, и т.к. aDPA зависит непосредственно от aBPC,aCPD зависит от aAPB количество таких точек P равно количеству пар (aBPC,aAPB), каждое может принимать по 4 значения Ответ: 4*4=16.