10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. Все многоугольники на рисунке ниже являются правильными. Докажите, что $ABCD$ — равнобедренная трапеция.

Задача №2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с $AB=AC$ и $\angle A=30^\circ$, точки $L$ и $M$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно так, что $AL=CM$. Точка $K$ отмечена на отрезке $AB$ так, что $\angle AMK= 45^\circ$. Докажите, что если $\angle LMC=75^\circ$, то $KM+ML=BC$.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $1$. Сколько точек $P$ внутри квадрата (не на его сторонах) имеют свойство, что квадрат можно разрезать на 10 треугольников равных площадей, и все они имеют общую вершину в точке $P$?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Предположим, что $CD = BC = BE$. Докажите, что $AD + DC \geq AB$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Многоугольник разбит на треугольники с помощью проведения непересекающихся внутренних диагоналей таким образом, что для каждой пары треугольников, имеющих общую сторону, сумма углов, противоположных этой общей стороне, больше $180^\circ$.
a) Докажите, что этот многоугольник является выпуклым.
b) Докажите, что описанная окружность каждого треугольника, используемого в разбиении, содержит весь многоугольник.
комментарий/решение