10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, первая лига, 7-8 классы

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с $AB=AC$ и $\angle A=30^\circ$, точки $L$ и $M$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно так, что $AL=CM$. Точка $K$ отмечена на отрезке $AB$ так, что $\angle AMK= 45^\circ$. Докажите, что если $\angle LMC=75^\circ$, то $KM+ML=BC$.

Комментарий/решение

Продолжим LM с пересечением BC к точке N. В треугольнике KBN из точки B проведем такую прямую в точке G что LG=KM так как AL=CM значит AM=LB так как угол GLB=45 значит треугольники LGB=AMK значит NG=NB отсюда так как треугольник NMC равнобедренный KM+ML=BC

Проведем прямую , параллельную $BC$, проходящим через точку $L$. Отметим пересечение $KM$ и этой прямой как $D$ и пересечение $LD$ с $AC$ как $N$. И теперь по счету углов видно , что $LM=LN=MD$, а треугольники $MDC$ и $MLA$ равны по стороне и прилежащим углам, а тогда значит что $DC=AM=NC$, и $ND=KM$, тогда $BLDC$ параллелограмм. Тогда $LD=LN+ND=KM+ML=BC$, что и требовалось доказать.