10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, первая лига, 7-8 классы

$ABC$ үшбұрышында $AB=AC$ және $\angle A=30^\circ$, ал $L$ және $M$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $AC$ қабырғаларынан $AL=CM$ болатындай алынған. $AB$ кесіндісінде $K$ нүктесі $\angle AMK= 45^\circ$ болатындай алынған. Егер $\angle LMC=75^\circ$ болса, $KM+ML=BC$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Продолжим LM с пересечением BC к точке N. В треугольнике KBN из точки B проведем такую прямую в точке G что LG=KM так как AL=CM значит AM=LB так как угол GLB=45 значит треугольники LGB=AMK значит NG=NB отсюда так как треугольник NMC равнобедренный KM+ML=BC

Проведем прямую , параллельную $BC$, проходящим через точку $L$. Отметим пересечение $KM$ и этой прямой как $D$ и пересечение $LD$ с $AC$ как $N$. И теперь по счету углов видно , что $LM=LN=MD$, а треугольники $MDC$ и $MLA$ равны по стороне и прилежащим углам, а тогда значит что $DC=AM=NC$, и $ND=KM$, тогда $BLDC$ параллелограмм. Тогда $LD=LN+ND=KM+ML=BC$, что и требовалось доказать.