Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$ABCD$ дөңес төртбұрышында

$ABD$ теңқабырғалы үшбұрыш, ал

$BCD$ теңбүйірлі үшбұрыш, мұндағы

$\angle C=90^\circ$ екені белгілі.

$AD$ қабырғасының ортасын

$E$ деп белгілейік.

$\angle CED$ бұрышының мәнін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Жүз тақ натурал сан бір қатарға жазылған. Қатар тұрған кез-келген бес санның қосындысы толық квадрат және қатар тұрған кез-келген тоғыз санның қосындысы толық квадрат болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Оқушыда сан жазылған 600 карточка бар. 200 карточкада 1 саны жазылған, басқа 200 карточкада 2 саны жазылған, қалған 200 карточкада 5 саны жазылған. Оқушы әр топтағы карточкалардағы сандардың қосындысы 9-ға тең болатындай етіп карточкаларды топтастыруы тиіс. Кейбір карточкалар қолданылмауы мүмкін. Оқушы ең көп дегенде қанша карточкалар топтарын ала алады?
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Үш түсті міндетті түрде қолданып және кез-келген екі әртүрлі түсті санның қосындысы үшінші түсті (қосылатын сандардың түсінен өзге) болатындай барлық натурал сандарды үш түске (көк, сары және қызыл) бояуға бола ма?
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Центрлері, сәйкесінше,

${{O}_{1}}$ және

${{O}_{2}}$ болатын

${{\omega }_{1}}$ және

${{\omega }_{2}}$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады, бұл жерде

$\angle {{O}_{1}}A{{O}_{2}}$ бұрышы доғал.

${{O}_{2}}B$ түзуі

${{\omega }_{1}}$ шеңберін екінші рет

$D$ нүктесінде қияды, ал

${{O}_{1}}B$ түзуі

${{\omega }_{2}}$ шеңберін екінші рет

$C$ нүктесінде қияды.

$ACD$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі

$B$ нүктесі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$m$ және

$n$ натурал сандары келесі шартты қанағаттандырады:

$m$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымының оң жағына

$n$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымын жалғасақ,

${{\left( m+n \right)}^{2}}$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымы шығады. Егер

$n$ саны

$m$ санына бөлінетіні белгілі болса, онда

$\dfrac{n}{m}=6$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)