Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып

$ABCD$ дөңес төртбұрышында $ABD$ теңқабырғалы үшбұрыш, ал $BCD$ теңбүйірлі үшбұрыш, мұндағы $\angle C=90^\circ$ екені белгілі. $AD$ қабырғасының ортасын $E$ деп белгілейік. $\angle CED$ бұрышының мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

Опишем около треугольника $BCD$ окружность, тогда из условия следует что $BD$ диаметр окружности, так как $E$ середина $AD$ то $BE$ высота и биссектриса $ABD$ откуда $E$ лежит на этой окружности значит $\angle CED = \angle CBD = \frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$

Понятно что $BE\bot AD$ тогда BCDE вписанный откуда $\angle BED$+$\angle BCD$ =180 т.к. $\angle CBD$ = $\angle CED$ т.к. они смотрят на одну дугу, разумно что $\angle CBD$ =45 то $\angle {CED}$ =45