Областная олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс

Пусть $ABCD$ — такой выпуклый четырехугольник, что треугольник $ABD$ равносторонний, а треугольник $BCD$ равнобедренный, причем $\angle C=90^\circ$. Обозначим через $E$ середину стороны $AD$. Найдите величину угла $CED$.

Комментарий/решение

Опишем около треугольника $BCD$ окружность, тогда из условия следует что $BD$ диаметр окружности, так как $E$ середина $AD$ то $BE$ высота и биссектриса $ABD$ откуда $E$ лежит на этой окружности значит $\angle CED = \angle CBD = \frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$

Понятно что $BE\bot AD$ тогда BCDE вписанный откуда $ \angle BED$+$\angle BCD$ =180 т.к. $\angle CBD $ = $\angle CED$ т.к. они смотрят на одну дугу, разумно что $\angle CBD$ =45 то $\angle {CED}$ =45