Областная олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть $ABCD$ — такой выпуклый четырехугольник, что треугольник $ABD$ равносторонний, а треугольник $BCD$ равнобедренный, причем $\angle C=90^\circ$. Обозначим через $E$ середину стороны $AD$. Найдите величину угла $CED$.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Сто нечетных натуральных чисел записаны в ряд. Возможна ли ситуация, когда одновременно сумма любых пяти записанных подряд чисел является полным квадратом и сумма любых девяти записанных подряд чисел является полным квадратом?
комментарий/решение(5)

Задача №3. У школьника имеется 600 карточек с записанными на них числами. На 200 карточках записано число 1, на других 200 карточках записано число 2 и, наконец, на оставшихся 200 карточках записано число 5. Школьнику нужно разложить карточки на несколько групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел на карточках была равна 9. При этом некоторые карточки, возможно, не будут использованы. Какое наибольшее количество групп карточек может получиться у школьника?
комментарий/решение(4)

Задача №4. Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?
комментарий/решение(3)

Задача №5. Две окружности ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ с центрами ${{O}_{1}}$ и ${{O}_{2}}$, соответственно, пересекаются в двух точках $A$ и $B$, причем угол $\angle {{O}_{1}}A{{O}_{2}}$ тупой. Прямая ${{O}_{2}}B$ вторично пересекает ${{\omega }_{1}}$ в точке $D$, а прямая ${{O}_{1}}B$ вторично пересекает ${{\omega }_{2}}$ в точке $C$. Докажите, что $B$ — центр вписанной в треугольник $ACD$ окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что если к десятичной записи числа $m$ приписать справа десятичную запись числа $n$, то получится десятичная запись числа ${{\left( m+n \right)}^{2}}$. Докажите, что если $n$ делится на $m$, то $\dfrac{n}{m}=6$.
комментарий/решение(2)