Областная олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$ABCD$ — такой выпуклый четырехугольник, что треугольник

$ABD$ равносторонний, а треугольник

$BCD$ равнобедренный, причем

$\angle C=90^\circ$ . Обозначим через

$E$ середину стороны

$AD$ . Найдите величину угла

$CED$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Сто нечетных натуральных чисел записаны в ряд. Возможна ли ситуация, когда одновременно сумма любых пяти записанных подряд чисел является полным квадратом и сумма любых девяти записанных подряд чисел является полным квадратом?
комментарий/решение(5)

Задача №3. У школьника имеется 600 карточек с записанными на них числами. На 200 карточках записано число 1, на других 200 карточках записано число 2 и, наконец, на оставшихся 200 карточках записано число 5. Школьнику нужно разложить карточки на несколько групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел на карточках была равна 9. При этом некоторые карточки, возможно, не будут использованы. Какое наибольшее количество групп карточек может получиться у школьника?
комментарий/решение(4)

Задача №4. Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?
комментарий/решение(3)

Задача №5. Две окружности

${{\omega }_{1}}$ и

${{\omega }_{2}}$ с центрами

${{O}_{1}}$ и

${{O}_{2}}$ , соответственно, пересекаются в двух точках

$A$ и

$B$ , причем угол

$\angle {{O}_{1}}A{{O}_{2}}$ тупой. Прямая

${{O}_{2}}B$ вторично пересекает

${{\omega }_{1}}$ в точке

$D$ , а прямая

${{O}_{1}}B$ вторично пересекает

${{\omega }_{2}}$ в точке

$C$ . Докажите, что

$B$ — центр вписанной в треугольник

$ACD$ окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Натуральные числа

$m$ и

$n$ таковы, что если к десятичной записи числа

$m$ приписать справа десятичную запись числа

$n$ , то получится десятичная запись числа

${{\left( m+n \right)}^{2}}$ . Докажите, что если

$n$ делится на

$m$ , то

$\dfrac{n}{m}=6$ .
комментарий/решение(2)