Областная олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс

Две окружности ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ с центрами ${{O}_{1}}$ и ${{O}_{2}}$, соответственно, пересекаются в двух точках $A$ и $B$, причем угол $\angle {{O}_{1}}A{{O}_{2}}$ тупой. Прямая ${{O}_{2}}B$ вторично пересекает ${{\omega }_{1}}$ в точке $D$, а прямая ${{O}_{1}}B$ вторично пересекает ${{\omega }_{2}}$ в точке $C$. Докажите, что $B$ — центр вписанной в треугольник $ACD$ окружности.

Комментарий/решение

Положим что углы $\angle AO_{2}B = a; AO_{1}B=b$ , тогда углы $\angle ACB=\frac{a}{2}; \angle ADB = \frac{b}{2}$ , так как опираются соответственно на одну и ту же дугу $\cup AB$ .

Угол $\angle CAB=\angle O_{2}AD -\angle O_{2}AB=180-\frac{b}{2}-a-\frac{180-a}{2}=\frac{180-(a+b)}{2}$

Угол $\angle DAB=\angle O_{1}AC -\angle O_{1}AB=180-\frac{a}{2}-b-\frac{180-b}{2}=\frac{180-(a+b)}{2}$

То есть равны значит $AB$ биссектриса угла $\angle CAD$

Тогда угол $ADC =\frac{ 360-\cup ABC - \cup ABC}{2}=\frac{180+b-180+b}{2}=b$

Так же и угол $ABC=a$ , то есть $BC;BD$ биссектрисы , значит $B$ точка пересечения биссектрис или точка центра окружности вписанной $\Delta ADC$