Областная олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс

Сто нечетных натуральных чисел записаны в ряд. Возможна ли ситуация, когда одновременно сумма любых пяти записанных подряд чисел является полным квадратом и сумма любых девяти записанных подряд чисел является полным квадратом?

Комментарий/решение

Ответ: невозможна

Представим себе кусочек из этого ряда чисел

$$n-4 ; n-3; n-2; n-1;n ; n+1; n+2; n+3; n+4;$$

Из этого ряда можно выбрать 5 слагаемых, сумма которых $5n$ и 9 слагаемых, сумма которых$9n$.

Но 5n и 9n не могут быть одновременно полными квадратами

В условии не сказано, что это подряд идущие числа.

Подсказка: Докажите то что все числа дают одинаковый остаток при делении на 8.

Для начала, заметим что сумма пяти нечетных чисел равняется нечетному числу как и сумма девяти нечетных чисел.

С одной стороны, сумма всех записанных чисел равняется сумме первых 99-ти чисел+сотое число, что может равняться сумме 10 разных квадратов(сумма любых девяти записанных подряд чисел является полным квадратом)+нечетное число, что в итоге дает нам нечетный результат.

С другой же стороны, сумма всех записанных чисел равняется сумме 20 разных квадратов(сумма любых пяти записанных подряд чисел является полным квадратом), что дает нам четный результат.

Противоречие.

Ответ: Ситуация невозможна.

спасибо за такое решение давно не мог эту задачу решить

Сумма 5 и 9 нечётных чисел — нечётная.

Сумма всех 100 чисел = сумма квадратов по 9 подряд + нечётное → нечётная.

Но та же сумма = сумма квадратов по 5 подряд → чётная.

Получаем противоречие, значит ситуация невозможна.