Областная олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс


Сто нечетных натуральных чисел записаны в ряд. Возможна ли ситуация, когда одновременно сумма любых пяти записанных подряд чисел является полным квадратом и сумма любых девяти записанных подряд чисел является полным квадратом?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
8 года 11 месяца назад #

Ответ: невозможна

Представим себе кусочек из этого ряда чисел

n4;n3;n2;n1;n;n+1;n+2;n+3;n+4;

Из этого ряда можно выбрать 5 слагаемых, сумма которых 5n и 9 слагаемых, сумма которых9n.

Но 5n и 9n не могут быть одновременно полными квадратами

  7
8 года 11 месяца назад #

В условии не сказано, что это подряд идущие числа.

  2
5 года 8 месяца назад #

Подсказка: Докажите то что все числа дают одинаковый остаток при делении на 8.

  2
3 года назад #

Для начала, заметим что сумма пяти нечетных чисел равняется нечетному числу как и сумма девяти нечетных чисел.

С одной стороны, сумма всех записанных чисел равняется сумме первых 99-ти чисел+сотое число, что может равняться сумме 10 разных квадратов(сумма любых девяти записанных подряд чисел является полным квадратом)+нечетное число, что в итоге дает нам нечетный результат.

С другой же стороны, сумма всех записанных чисел равняется сумме 20 разных квадратов(сумма любых пяти записанных подряд чисел является полным квадратом), что дает нам четный результат.

Противоречие.

Ответ: Ситуация невозможна.

  8
2 года 3 месяца назад #

спасибо за такое решение давно не мог эту задачу решить