6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Задача №1. Дана квадратная таблица

$n\times n$ . Арсен покрасил клетки двух главных диагоналей (идущей из левого верхнего угла в правый нижний и из правого верхнего угла в левый нижний) в синий цвет. Могло ли у него получиться ровно 2023 синих клетки?
комментарий/решение(2)

Задача №2. Если

$a+b+c+d=50$ и

$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{b+c+d}=10,$ найдите значение выражения

$\frac{d}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{a}{b+c+d}$ . (Числа

$a,b,c,d$ не обязательно должны быть целыми или положительными.)
комментарий/решение(2)

Задача №3. Дано натуральное число

$a$ . Оказалось, что среди чисел

$\overline{a0}$ ,

$\overline{a1}$ ,

$\ldots$ ,

$\overline{a9}$ ровно четыре делятся на 3 и только одно делится на 9. Докажите, что

$(a-3)(a-6)$ делится на 27.
комментарий/решение(1)

Задача №4. В прямоугольнике

$ABCD$ , где

$AB>CB$ , биссектриса угла

$ABC$ пересекает сторону

$CD$ в точке

$E$ .

$AF$ высота в треугольнике

$ABE$ (

$F$ лежит на

$BE$ ). Оказалось, что

$AE = 5$ . Найдите значение выражения

$P(AFE)+P(AED)-P(ABE)$ . Не забудьте пояснить свой ответ. Здесь через

$P(XYZ)$ обозначен периметр треугольника

$XYZ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Вершины 101-угольника нужно покрасить в несколько цветов так, чтобы любые две вершины, не соединенные стороной, были разного цвета. Какое наименьшее количество цветов для этого понадобится?
комментарий/решение(2)