қазақша
русский6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур
Задача №1. Дана квадратная таблица $n\times n$. Арсен покрасил клетки двух главных диагоналей (идущей из левого верхнего угла в правый нижний и из правого верхнего угла в левый нижний) в синий цвет. Могло ли у него получиться ровно 2023 синих клетки?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Если $a+b+c+d=50$ и $$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{b+c+d}=10,$$ найдите значение выражения $\frac{d}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{a}{b+c+d}$. (Числа $a,b,c,d$ не обязательно должны быть целыми или положительными.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дано натуральное число $a$. Оказалось, что среди чисел $\overline{a0}$, $\overline{a1}$, $\ldots$, $\overline{a9}$ ровно четыре делятся на 3 и только одно делится на 9. Докажите, что $(a-3)(a-6)$ делится на 27.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В прямоугольнике $ABCD$, где $AB>CB$, биссектриса угла $ABC$ пересекает сторону $CD$ в точке $E$. $AF$ высота в треугольнике $ABE$ ($F$ лежит на $BE$). Оказалось, что $AE = 5$. Найдите значение выражения $P(AFE)+P(AED)-P(ABE)$. Не забудьте пояснить свой ответ. Здесь через $P(XYZ)$ обозначен периметр треугольника $XYZ$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Вершины 101-угольника нужно покрасить в несколько цветов так, чтобы любые две вершины, не соединенные стороной, были разного цвета. Какое наименьшее количество цветов для этого понадобится?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)