6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Если $a+b+c+d=50$ и $$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{b+c+d}=10,$$ найдите значение выражения $\frac{d}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{a}{b+c+d}$. (Числа $a,b,c,d$ не обязательно должны быть целыми или положительными.)

Комментарий/решение

Решение: Мы сначала умножаем двое верхних выражения:

$(a+b+c+d)\times(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{b+c+d})=10\times 50=500$

У нас теперь выходят дроби, и среди них мы делим на четыре группы с одинаковым знаменателем:

$\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1$

$\dfrac{a+b+d}{a+b+d}=1$

$\dfrac{a+c+d}{a+c+d}=1$

$\dfrac{b+c+d}{b+c+d}=1$

Теперь мы вычитаем это с 500:

$\dfrac{d}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+c+d}+\dfrac{a}{b+c+d}=500-4=496$

Ответ:$496$

$\dfrac{d}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+c+d}+\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{d}{50-d}+\dfrac{c}{50-c}+\dfrac{b}{50-b}+\dfrac{a}{50-a}=\dfrac{50-(50-d)}{50-d}+\dfrac{50-(50-c)}{50-c}+\dfrac{50-(50-b)}{50-b}+\dfrac{50-(50-a)}{50-a}=\dfrac{50}{50-d}-1+\dfrac{50}{50-c}-1+\dfrac{50}{50-b}-1+\dfrac{50}{50-a}-1=50 \times (\dfrac{1}{50-d}+\dfrac{1}{50-c}+\dfrac{1}{50-b}+\dfrac{1}{50-a})-4=50 \times 10-4=496$