9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, первая лига, 7-8 классы

Есеп №1. Төменгі суретте $ABCDE$ бесбұрышының бұрыштарын табыңыз.

Есеп №2. Теңбүйірлі $ABCD$ ($AB\parallel CD$) трапециясы берілген. $BC$ және $AD$ қабырғаларында сәйкесінше $E$ және $F$, ал $EF$ кесіндісінде $M$ және $N$ нүктелері $DF=BE$ және $FM=NE$ болатындай белгіленген. $K$ және $L$ нүктелері — $M$ және $N$ нүктелерінен сәйкесінше $AB$ және $CD$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табандары. $EKFL$ төртбұрышы параллелограмм екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Дөңес $ABCDE$ бесбұрышында $AB=BC=CD$ және $\angle BDE=\angle EAC=30^\circ$ теңдіктері орындалады. $BEC$ бұрышының барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $AD$ кесіндісі $\triangle ABC$-ның ішкі биссектрисасы. $ABC$ және $ACD$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлер бірін-бірі сырттай жанайды. $\angle ABC > 120^\circ$ екенін дәлелдеңіз. (Үшбұрыштың ішінде жатып және оның барлық қабырғаларын жанайтын шеңбер — үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер деп аталады.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5. a) Кез келген екеуінің дәл бір ортақ төбесі болатындай және жазықтықтың кез келген нүктесі ең көп дегенде екеуінің шекарасында жататындай, жазықтықта төрт теңқабырғалы үшбұрыштар табылады ма?
b) Кез келген екеуінің дәл бір ортақ төбесі болатындай және жазықтықтың кез келген нүктесі ең көп дегенде екеуінің шекарасында жататындай, жазықтықта төрт квадрат табылады ма? \par(Екі пунктте де көпбұрыштардың ішкі бөліктері қиылысады деген тұжырым жоқ екеніне назар аударыңыздар.)
комментарий/решение