9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, первая лига, 7-8 классы

Пусть $ABCDE$ --- выпуклый пятиугольник такой, что $AB = BC = CD$ и $\angle BDE = \angle EAC = 30^\circ$. Найдите, какие значения может принимать $\angle BEC$.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_1,\omega_2$ - равные окружности с центрами $B$, $C$ и радиусом $BC$. Их пересечение (одно из двух, точки/случаи симметричны относительно линии центров) обозначим за $E'$, тогда верно, что для любых $A \in \omega_1$ (большая дуга),$B \in \omega_2$ (большая дуга) верно, что $\angle E'AC=\angle E'DB=30$. Тогда, чтобы доказать, что $E'=E$ нужно понять, что точка $E$ обязана лежат на двух прямых $AE',DE'$., откуда вытекает совпадение точек. Тем самым $\angle BEC=60$.