9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, первая лига, 7-8 классы
Пусть ABCDE --- выпуклый пятиугольник такой, что AB=BC=CD и ∠BDE=∠EAC=30∘. Найдите, какие значения может принимать ∠BEC.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ω1,ω2 - равные окружности с центрами B, C и радиусом BC. Их пересечение (одно из двух, точки/случаи симметричны относительно линии центров) обозначим за E′, тогда верно, что для любых A∈ω1 (большая дуга),B∈ω2 (большая дуга) верно, что ∠E′AC=∠E′DB=30. Тогда, чтобы доказать, что E′=E нужно понять, что точка E обязана лежат на двух прямых AE′,DE′., откуда вытекает совпадение точек. Тем самым ∠BEC=60.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.