9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. Найдите углы пятиугольника

$ABCDE$ , изображённого на рисунке ниже.

комментарий/решение(8)

Задача №2. Дана равнобедренная трапеция

$ABCD$ (

$AB \parallel CD$ ). Точки

$E$ и

$F$ лежат на сторонах

$BC$ и

$AD$ , а точки

$M$ и

$N$ лежат на отрезке

$EF$ так, что

$DF = BE$ и

$FM = NE$ . Пусть

$K$ и

$L$ --- основания перпендикуляров, опущенных из

$M$ и

$N$ на прямые

$AB$ и

$CD$ соответственно. Докажите, что

$EKFL$ --- параллелограмм.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Пусть

$ABCDE$ --- выпуклый пятиугольник такой, что

$AB = BC = CD$ и

$\angle BDE = \angle EAC = 30^\circ$ . Найдите, какие значения может принимать

$\angle BEC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$AD$ . Вписанные окружности треугольников

$ABC$ и

$ACD$ касаются друг друга внешним образом. Докажите, что

$\angle ABC > 120^\circ$ . (Напомним, что вписанная окружность треугольника --- это окружность внутри треугольника, касающаяся трёх его сторон.)
комментарий/решение(1)

Задача №5. a) Существуют ли на плоскости четыре равносторонних треугольника такие, что каждые два из них имеют ровно одну общую вершину, но каждая точка плоскости принадлежит границе не более чем двух из них?
b) Существуют ли на плоскости четыре квадрата такие, что каждые два из них имеют ровно одну общую вершину, но каждая точка плоскости принадлежит границе не более чем двух из них?
(Обратите внимание, что в обоих пунктах задачи отсутствуют условия на пересечение внутренностей многоугольников.)
комментарий/решение