9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, первая лига, 7-8 классы

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Вписанные окружности треугольников $ABC$ и $ACD$ касаются друг друга внешним образом. Докажите, что $\angle ABC > 120^\circ$. (Напомним, что вписанная окружность треугольника --- это окружность внутри треугольника, касающаяся трёх его сторон.)

Комментарий/решение

Обозначим через ω(I, r) и ω1(I1, r1) вписанные окружности треугольников ABC и ACD соответственно. Пусть T — точка, где ω1 касается AD. Точка I1 лежит на отрезке CI, поэтому расстояние от I1 до BC меньше расстояния от I до BC. Следовательно, r1 < r. Рассмотрим прямоугольный треугольник II1T (∠ITI1 = 90◦). Поскольку II1 = r + r1 > 2r1 = 2I1T, имеем ∠TI1I > 60◦. С другой стороны, ∠TI1I+90◦=∠AIC=0,5∠ABC+90◦. Таким образом, 0,5∠ABC>60◦ или ∠ABC>120◦.