7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышында

$M$ ,

$N$ және

$P$ нүктелері сәйкесінше

$BC$ ,

$AC$ және

$AB$ қабырғаларының орталары.

$BC$ кесіндісінде

$\angle NEC= \angle AMB/2$ және

$\angle PFB=\angle AMC/2$ теңдіктері орындалатындай

$E$ және

$F$ нүктелері белгіленген.

$AE=AF$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$I$ нүктесі — сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі.

$N$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$BAC$ доғасының ортасы, ал

$P$ нүктесі —

$ABPC$ төртбұрышы параллелограм болатындай нүкте.

$Q$ нүктесі

$A$ нүктесіне

$N$ -ге қарағандағы симметриялы нүкте, ал

$R$ нүктесі —

$A$ нүктесінен

$QI$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны.

$AI$ түзуінің

$\triangle PQR$ -ға сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Жазықтықта үш шеңбер сызылған. Олардың кез-келген екеуінің ортақ нүктесі жоқ. Кез-келген екі шеңберді екі жаққа бөлетін кез-келген түзу үшінші шеңбердің ішкі нүктесі арқылы өтеді. Осы шеңберлердің центрлері

$O_1,O_2, O_3$ , радиустары сәйкесінше

$r_1,r_2,r_3$ болсын.

${O_1}{O_2} + {O_2}{O_3} + {O_1}{O_3} \le 2\sqrt 2 \left( {{r_1} + {r_2} + {r_3}} \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
(Түзу екі шеңберді екі жаққа бөледі дегеніміз, шеңберлердің осы түзумен ортақ нүктесі жоқ және олар осы түзудің екі жағында жатқанын айтамыз.)
Ескерту. Егер есеп

$2\sqrt2$ санының орнына одан үлкенірек

$c$ саны үшін шығарылған болса (

$c > 2\sqrt2$ мәніне байланысты), ол жағдайда да есеп бағалануы мүмкін.
комментарий/решение

Есеп №4. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышы центрі

$I$ болатын шеңберге сырттай сызылған. Осы шеңбер

$AD$ ,

$DC$ ,

$CB$ және

$BA$ қабырғаларын сәйкесінше

$K$ ,

$L$ ,

$M$ және

$N$ нүктелерінде жанайды.

$AD$ және

$BC$ түзулері

$E$ , ал

$AB$ және

$CD$ түзулері

$F$ нүктесінде қиылысады.

$KM$ түзуі

$AB$ және

$CD$ түзулерін сәйкесінше

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қисын.

$LN$ түзуі

$AD$ және

$BC$ түзулерін сәйкесінше

$Z$ және

$T$ нүктелерінде қисын. Келесі шарттар сонда, және тек сонда ғана орындалатынын дәлелдеңіз: егер

$\triangle XFY$ -ға сырттай сызылған шеңбер мен диаметрі

$EI$ болатын шеңберлер жанасса, онда

$\triangle TEZ$ -ға сырттай сызылған шеңбер және диаметрі

$FI$ болатын шеңберлер жанасады. (Шарттар үшін «сонда және тек сонда ғана» дегеніміз, егер бірінші шарт орындалса екінші шарт орындалатынын, және керісінше, екінші шарт орындалса, бірінші шарт орындалатыны дәлелдеу керек.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Биіктіктерінің қиылысуы нүктесі

$H$ болатын сүйірбұрышты

$ABC$ (

$AC > AB$ ) үшбұрышы

$\Gamma$ шеңберіне іштей сызылған.

$M$ және

$P$ нүктелері сәйкесінше

$BC$ және

$AH$ кесінділерінің орталары.

$AM$ түзуі

$\Gamma$ -ны екінші рет

$X$ нүктесінде қияды.

$N$ нүктесі

$BC$ түзуінде жатыр және

$NX$ түзуі

$\Gamma$ -ны жанайды. Диаметрі

$MP$ болатын шеңбердің бойынан

$\angle AJP=\angle HNM$ болатындай

$J$ және

$K$ нүктелері белгіленген (

$B$ және

$J$ нүктелері

$AH$ түзуінің бір жағында жатыр).

$K$ ,

$H$ және

$J$ нүктелері арқылы өтетін

$\omega_1$ шеңбері мен

$K$ ,

$M$ және

$N$ нүктелері арқылы өтетін

$\omega_2$ шеңбер өзара сырттай жанасады.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерінің ортақ сыртқы жанамалары

$NH$ түзуінің бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)