7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы

Точка $I$ --- центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $N$ --- середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$, $P$ --- такая точка, что $ABPC$ является параллелограммом. Точка $Q$ симметрична $A$ относительно $N$, $R$ --- проекция $A$ на прямую $QI$. Докажите, что прямая $AI$ касается описанной окружности треугольника $PQR$.

Комментарий/решение

Гомотетия в точке $A$ с коэффициентом $1/2$:

$$P\to M, R\to S,Q\to N,I\to D.$$

Заметим, что $\angle (NS,SI)=90^\circ=\angle (NA,AI)$, поэтому $DI^2=DA^2=DS\cdot DN$,а значит $(ISN)$ касается $AI$.

По понятным причинам $\angle IMB=\angle INA$.

$$\angle IMN=90^\circ-\angle IMB=90^\circ-\angle INA=\angle AIN(sooalgown),$$

поэтому $(MIN)$ касается $AI$. Из этого всего $I,M,N,S$ на одной окружности такой, что касается $AI$. Это равносильно заветному.