Решения: Дистанционные олимпиады, Иранская олимпиада по геометрии

Точка

$I$ --- центр вписанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ . Пусть

$N$ --- середина дуги

$BAC$ описанной окружности треугольника

$ABC$ ,

$P$ --- такая точка, что

$ABPC$ является параллелограммом. Точка

$Q$ симметрична

$A$ относительно

$N$ ,

$R$ --- проекция

$A$ на прямую

$QI$ . Докажите, что прямая

$AI$ касается описанной окружности треугольника

$PQR$ .

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

9 месяца 2 дней назад #

Гомотетия в точке $A$ с коэффициентом $1/2$ :

$P\to M, R\to S,Q\to N,I\to D.$

Заметим, что $\angle (NS,SI)=90^\circ=\angle (NA,AI)$ , поэтому $DI^2=DA^2=DS\cdot DN$ ,а значит $(ISN)$ касается $AI$ .

$\angle IMN=90^\circ-\angle IMB=90^\circ-\angle INA=\angle AIN(sooalgown),$

поэтому $(MIN)$ касается $AI$ . Из этого всего $I,M,N,S$ на одной окружности такой, что касается $AI$ . Это равносильно заветному.