7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Точки

$M$ ,

$N$ и

$P$ --- середины сторон

$BC$ ,

$AC$ и

$AB$ треугольника

$ABC$ соответственно. На отрезке

$BC$ выбраны такие точки

$E$ и

$F$ , что

$\angle NEC= \angle AMB/2$ и

$\angle PFB=\angle AMC/2$ . Докажите, что

$AE=AF$ .
комментарий/решение(4)

Задача №2. Точка

$I$ --- центр вписанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ . Пусть

$N$ --- середина дуги

$BAC$ описанной окружности треугольника

$ABC$ ,

$P$ --- такая точка, что

$ABPC$ является параллелограммом. Точка

$Q$ симметрична

$A$ относительно

$N$ ,

$R$ --- проекция

$A$ на прямую

$QI$ . Докажите, что прямая

$AI$ касается описанной окружности треугольника

$PQR$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Три круга на плоскости таковы, что любые два из них не имеют общих точек, и любая прямая, отделяющая один круг от другого, пересекается с внутренностью третьего круга. Докажите, что сумма попарных расстояний между центрами кругов не превосходит суммы их радиусов, умноженной на

$2\sqrt{2}$ .
(Прямая отделяет один круг от другого, если круги не имеют с прямой общих точек и находятся в разных полуплоскостях относительно прямой.) Замечание. Более слабые результаты с заменой

$2\sqrt2$ на

$c$ могут быть оценены в зависимости от значения константы

$c > 2\sqrt2$ .
комментарий/решение

Задача №4. В выпуклый четырёхугольник

$ABCD$ вписана окружность с центром в точке

$I$ . Она касается сторон

$AD$ ,

$DC$ ,

$CB$ и

$BA$ в точках

$K$ ,

$L$ ,

$M$ и

$N$ соответственно. Прямые

$AD$ и

$BC$ пересекаются в точке

$E$ , прямые

$AB$ и

$CD$ --- в точке

$F$ . Прямая

$KM$ пересекает прямые

$AB$ и

$CD$ в точках

$X$ и

$Y$ соответственно. Прямая

$LN$ пересекает прямые

$AD$ и

$BC$ в точках

$Z$ и

$T$ соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника

$XFY$ касается окружности, построенной на отрезке

$EI$ как на диаметре, тогда и только тогда, когда описанная окружность треугольника

$TEZ$ касается окружности, построенной на отрезке

$FI$ как на диаметре.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Рассмотрим остроугольный треугольник

$ABC$ (

$AC > AB$ ) с ортоцентром

$H$ и описанной окружностью

$\Gamma$ . Точки

$M$ и

$P$ --- середины отрезков

$BC$ и

$AH$ соответственно. Прямая

$AM$ вторично пересекает

$\Gamma$ в точке

$X$ , точка

$N$ на прямой

$BC$ такова, что прямая

$NX$ касается

$\Gamma$ . Точки

$J$ и

$K$ лежат на окружности, построенной на

$MP$ как на диаметре, причём

$\angle AJP=\angle HNM$ (

$B$ и

$J$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой

$AH$ ), а окружности

$\omega_1$ , проходящая через точки

$K$ ,

$H$ и

$J$ , и окружность

$\omega_2$ , проходящая через точки

$K$ ,

$M$ и

$N$ , касаются друг друга внешним образом. Докажите, что общие внешние касательные

$\omega_1$ и

$\omega_2$ пересекаются на прямой

$NH$ .
комментарий/решение(2)