Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы


I нүктесі — сүйір бұрышты ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. N нүктесі — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің BAC доғасының ортасы, ал P нүктесі — ABPC төртбұрышы параллелограм болатындай нүкте. Q нүктесі A нүктесіне N-ге қарағандағы симметриялы нүкте, ал R нүктесі — A нүктесінен QI түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. AI түзуінің PQR-ға сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
9 месяца 3 дней назад #

Гомотетия в точке A с коэффициентом 1/2:

PM,RS,QN,ID.

Заметим, что (NS,SI)=90=(NA,AI), поэтому DI2=DA2=DSDN,а значит (ISN) касается AI.

По понятным причинам IMB=INA.

IMN=90IMB=90INA=AIN(sooalgown),

поэтому (MIN) касается AI. Из этого всего I,M,N,S на одной окружности такой, что касается AI. Это равносильно заветному.