7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы
I нүктесі — сүйір бұрышты ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. N нүктесі — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің BAC доғасының ортасы, ал P нүктесі — ABPC төртбұрышы параллелограм болатындай нүкте. Q нүктесі A нүктесіне N-ге қарағандағы симметриялы нүкте, ал R нүктесі — A нүктесінен QI түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. AI түзуінің △PQR-ға сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Гомотетия в точке A с коэффициентом 1/2:
P→M,R→S,Q→N,I→D.
Заметим, что ∠(NS,SI)=90∘=∠(NA,AI), поэтому DI2=DA2=DS⋅DN,а значит (ISN) касается AI.
По понятным причинам ∠IMB=∠INA.
∠IMN=90∘−∠IMB=90∘−∠INA=∠AIN(sooalgown),
поэтому (MIN) касается AI. Из этого всего I,M,N,S на одной окружности такой, что касается AI. Это равносильно заветному.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.