7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы
Точка I --- центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC. Пусть N --- середина дуги BAC описанной окружности треугольника ABC, P --- такая точка, что ABPC является параллелограммом. Точка Q симметрична A относительно N, R --- проекция A на прямую QI. Докажите, что прямая AI касается описанной окружности треугольника PQR.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Гомотетия в точке A с коэффициентом 1/2:
P→M,R→S,Q→N,I→D.
Заметим, что ∠(NS,SI)=90∘=∠(NA,AI), поэтому DI2=DA2=DS⋅DN,а значит (ISN) касается AI.
По понятным причинам ∠IMB=∠INA.
∠IMN=90∘−∠IMB=90∘−∠INA=∠AIN(sooalgown),
поэтому (MIN) касается AI. Из этого всего I,M,N,S на одной окружности такой, что касается AI. Это равносильно заветному.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.