7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

Есеп №1. Табандары

$AB$ және

$CD$ болатын

$ABCD$ трапециясы берілген.

$M$ нүктесі —

$AB$ кесіндісінің ортасы.

$CD$ кесіндісінде

$\angle ADN=\displaystyle\frac{1}{2}\angle MNC$ және

$\angle BCN=\displaystyle\frac{1}{2}\angle MND$ болатындай

$N$ нүктесі алынған.

$NC=ND$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(7)

Есеп №2.

$O$ нүктесі — теңбүйірлі

$ABC$ (

$AB=AC$ ) үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі.

$N$ нүктесі —

$BC$ қабырғасының ортасы, ал

$M$ нүктесі

$N$ нүктесіне

$AC$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте.

$T$ нүктесі

$ANBT$ — тіктөртбұрыш болатындай нүкте.

$\angle OMT = \displaystyle\frac{1}{2} \angle BAC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Сүйірбұрышты

$ABC$ (

$AC > AB$ ) үшбұрышының биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады, ал

$M$ —

$BC$ қабырғасының ортасы .

$AM$ медианасы

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет

$X$ нүктесінде қияды.

$CH$ түзуі

$BC$ кесіндісінің орта перпендикулярын

$E$ , ал

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет

$F$ нүктесінде қияды.

$J$ нүктесі

$X$ ,

$E$ және

$F$ нүктелері арқылы өтетін

$\omega$ шеңберінің бойында

$BCHJ$ төртбұрышы трапеция (

$CB\parallel HJ$ ) болатындай орналасқан.

$JB$ және

$EM$ түзулері

$\omega$ -ның бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышы берілген. Центрі

$J$ болатын қандай да бір шеңбер

$B$ және

$C$ нүктелері арқылы өтіп,

$AC$ және

$AB$ қабырғаларын сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$X$ және

$C$ нүктелері

$AB$ түзуіне қарағанда бір жақта жатыр және

$FXB$ үшбұрышы

$EJC$ үшбұрышына ұқсас (сәйкес төбелер берілген ретке сәйкес келеді). Дәл сол сияқты

$Y$ және

$B$ нүктелері

$AC$ түзуіне қарағанда бір жақта жатыр және

$EYC$ үшбұрышы

$FJB$ үшбұрышына ұқсас (сәйкес төбелер берілген ретке сәйкес келеді).

$XY$ түзуінің

$\triangle ABC$ -ның биіктіктер қиылысу нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Келесі шарттар орындалатындай барлық

$n \geq 4$ натурал сандарын табыңыз:

$n$ жағы бар және сол жақтардың әрқайсысы — тікбұрышты үшбұрыш болатындай дөңес көпжақ табылады.
(Дөңес көпжақтың көрші жақтарының арасында бұрыш

$180^\circ$ -тан кіші екенін еске саламыз.)
комментарий/решение