7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

Дан треугольник $ABC$. Произвольная окружность с центром в точке $J$, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает стороны $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Точка $X$ такова, что треугольники $FXB$ и $EJC$ подобны (вершины соответствуют друг другу в указанном порядке), а точки $X$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Аналогично точка $Y$ такова, что треугольники $EYC$ и $FJB$ подобны (вершины соответствуют друг другу в указанном порядке), а точки $Y$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AC$. Докажите, что прямая $XY$ проходит через ортоцентр треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Пусть $H$ ортоцентр треугольника $\triangle ABC$. Отрезки $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $P$.

Заметим что $\angle PBH = 90 - \angle BEC = \angle JBC$. И аналогично, $\angle PCH = \angle JCB$. Значит, точки $J$ и $H$ изогонально сопряжены относительно треугольника $\triangle PBC$. Значит $\angle BPH = \angle JPC$. Тогда выберем на прямой $PH$ точку $X’$ что треугольники $\triangle PBX’$ и $\triangle PCJ$ были подобными. Тогда легко заметить что треугольник $\triangle X’FB$ подобен треугольнику $\triangle JEC$. Отсюда $X=X’$ и точки $P, H, X$ на одной прямой. Аналогично, $P, H, Y$ на одной прямой. Ч.т.д.