7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. Дана трапеция

$ABCD$ с основаниями

$AB$ и

$CD$ . Точка

$M$ --- середина отрезка

$AB$ . Точка

$N$ на отрезке

$CD$ такова, что

$\angle ADN = \displaystyle\frac{1}{2} \angle MNC$ и

$\angle BCN = \displaystyle\frac{1}{2} \angle MND$ . Докажите, что

$N$ --- середина отрезка

$CD$ .
комментарий/решение(7)

Задача №2. Дан равнобедренный треугольник

$ABC$ (

$AB=AC$ ),

$O$ --- центр его описанной окружности. Точка

$N$ --- середина отрезка

$BC$ , точка

$M$ симметрична

$N$ относительно стороны

$AC$ . Точка

$T$ такова, что четырёхугольник

$ANBT$ является прямоугольником. Докажите, что

$\angle OMT = \displaystyle\frac{1}{2} \angle BAC$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. В остроугольном треугольнике

$ABC$ (

$AC > AB$ ) точка

$H$ --- ортоцентр,

$M$ --- середина отрезка

$BC$ . Медиана

$AM$ вторично пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точке

$X$ . Прямая

$CH$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку

$BC$ в точке

$E$ , и вторично пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точке

$F$ . Окружность

$\omega$ проходит через точки

$X$ ,

$E$ и

$F$ , точка

$J$ на

$\omega$ такова, что четырёхугольник

$BCHJ$ --- трапеция (

$CB\parallel HJ$ ). Докажите, что прямые

$JB$ и

$EM$ пересекаются на

$\omega$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дан треугольник

$ABC$ . Произвольная окружность с центром в точке

$J$ , проходящая через точки

$B$ и

$C$ , пересекает стороны

$AC$ и

$AB$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Точка

$X$ такова, что треугольники

$FXB$ и

$EJC$ подобны (вершины соответствуют друг другу в указанном порядке), а точки

$X$ и

$C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой

$AB$ . Аналогично точка

$Y$ такова, что треугольники

$EYC$ и

$FJB$ подобны (вершины соответствуют друг другу в указанном порядке), а точки

$Y$ и

$B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой

$AC$ . Докажите, что прямая

$XY$ проходит через ортоцентр треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все натуральные

$n \geq 4$ , для которых существует выпуклый многогранник с

$n$ гранями такой, что все его грани являются прямоугольными треугольниками.
(Обратите внимание, что угол между любой парой смежных граней выпуклого многогранника меньше

$180^\circ$ .)
комментарий/решение